Matemática discreta Ejemplos

$2 x^{2} - 9 x - 5 < 0$

Paso 1

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$2 x^{2} - 9 x - 5 = 0$

Paso 2

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot - 5 = - 10$ y cuya suma es $b = - 9$ .

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Paso 2.1.1

Factoriza $- 9$ de $- 9 x$ .

$2 x^{2} - 9 x - 5 = 0$

Paso 2.1.2

Reescribe $- 9$ como $1$ más $- 10$

$2 x^{2} + (1 - 10) x - 5 = 0$

Paso 2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x^{2} + 1 x - 10 x - 5 = 0$

Paso 2.1.4

Multiplica $x$ por $1$ .

$2 x^{2} + x - 10 x - 5 = 0$

Paso 2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(2 x^{2} + x) - 10 x - 5 = 0$

Paso 2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$x (2 x + 1) - 5 (2 x + 1) = 0$

Paso 2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 x + 1$ .

$(2 x + 1) (x - 5) = 0$

Paso 3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$x - 5 = 0$

Paso 4

Establece $2 x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.1

Establece $2 x + 1$ igual a $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Paso 4.2

Resuelve $2 x + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 4.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x = - 1$

Paso 4.2.2

Divide cada término en $2 x = - 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 4.2.2.1

Divide cada término en $2 x = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 4.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Paso 4.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{1}{2}$

Paso 5

Establece $x - 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.1

Establece $x - 5$ igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Paso 5.2

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 5$

Paso 6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(2 x + 1) (x - 5) = 0$ verdadera.

$x = - \frac{1}{2}, 5$

Paso 7

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - \frac{1}{2}$

$- \frac{1}{2} < x < 5$

$x > 5$

Paso 8

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 8.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - \frac{1}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - \frac{1}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 3$

Paso 8.1.2

Reemplaza $x$ con $- 3$ en la desigualdad original.

$2 {(- 3)}^{2} - 9 \cdot - 3 - 5 < 0$

Paso 8.1.3

$40$ del lado izquierdo no es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 8.2

Prueba un valor en el intervalo $- \frac{1}{2} < x < 5$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.2.1

Elije un valor en el intervalo $- \frac{1}{2} < x < 5$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 8.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$2 {(0)}^{2} - 9 \cdot 0 - 5 < 0$

Paso 8.2.3

$- 5$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 8.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 5$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 5$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 8$

Paso 8.3.2

Reemplaza $x$ con $8$ en la desigualdad original.

$2 {(8)}^{2} - 9 \cdot 8 - 5 < 0$

Paso 8.3.3

$51$ del lado izquierdo no es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 8.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - \frac{1}{2}$ Falso

$- \frac{1}{2} < x < 5$ Verdadero

$x > 5$ Falso

$x < - \frac{1}{2}$ Falso

$- \frac{1}{2} < x < 5$ Verdadero

$x > 5$ Falso

Paso 9

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- \frac{1}{2} < x < 5$

Paso 10

Convierte la desigualdad a notación de intervalo.

$(- \frac{1}{2}, 5)$

Paso 11